Çakışık doğrular paralel midir? Test 2

Analitik düzlemde $A(1,2)$ ve $B(3,6)$ noktalarından geçen doğru ile $C(2,4)$ ve $D(4,8)$ noktalarından geçen doğru için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A) Paralel değildir
B) Paraleldir ama çakışık değildir
C) Çakışıktır
D) Dik kesişir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Analitik düzlemde iki doğru arasındaki ilişkiyi belirlemek için öncelikle bu doğruların eğimlerini bulmamız gerekir. Eğimler aynıysa doğrular paraleldir veya çakışıktır. Eğimler farklıysa kesişirler. Eğer eğimler çarpımı $-1$ ise dik kesişirler.

• Adım 1: $A(1,2)$ ve $B(3,6)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ şeklindedir.

$A(x_1, y_1) = (1,2)$ ve $B(x_2, y_2) = (3,6)$ noktalarını kullanarak eğimi hesaplayalım:

$m_{AB} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.

• Adım 2: $C(2,4)$ ve $D(4,8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

$C(x_1, y_1) = (2,4)$ ve $D(x_2, y_2) = (4,8)$ noktalarını kullanarak eğimi hesaplayalım:

$m_{CD} = \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$.

• Adım 3: Eğimleri karşılaştıralım.

Her iki doğrunun eğimi de $2$ olarak bulundu ($m_{AB} = 2$ ve $m_{CD} = 2$).

Eğimler eşit olduğu için bu iki doğru ya paraleldir ya da çakışıktır (yani aynı doğrudur).

• Adım 4: Doğruların çakışık olup olmadığını kontrol edelim.

Eğer doğrular çakışıksa, birinci doğru üzerindeki herhangi bir nokta aynı zamanda ikinci doğru üzerinde de olmalıdır. Veya, tüm noktaların aynı denklemi sağlaması gerekir.

Şimdi, noktaların koordinatlarına dikkatlice bakalım:

• $A(1,2)$: $y$ koordinatı ($2$), $x$ koordinatının ($1$) iki katıdır. Yani $y=2x$.
• $B(3,6)$: $y$ koordinatı ($6$), $x$ koordinatının ($3$) iki katıdır. Yani $y=2x$.
• $C(2,4)$: $y$ koordinatı ($4$), $x$ koordinatının ($2$) iki katıdır. Yani $y=2x$.
• $D(4,8)$: $y$ koordinatı ($8$), $x$ koordinatının ($4$) iki katıdır. Yani $y=2x$.

Gördüğümüz gibi, verilen dört noktanın hepsi $y=2x$ denklemini sağlamaktadır. Bu durum, tüm noktaların aynı doğru üzerinde olduğunu gösterir.

Dolayısıyla, $A$ ve $B$ noktalarından geçen doğru ile $C$ ve $D$ noktalarından geçen doğru aslında aynı doğrudur.

Bu durumda, doğrular çakışıktır.

Cevap C seçeneğidir.