Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, koordinat sisteminde verilen iki doğrunun birbirleriyle olan ilişkisini inceleyeceğiz. Doğruların denklemlerini dikkatlice analiz ederek doğru cevabı bulalım.
- Adım 1: Doğru Denklemlerini İnceleyelim
- Bize verilen ilk doğru denklemi: $L_1: ax + by + c = 0$
- İkinci doğru denklemi: $L_2: 2ax + 2by + 2c = 0$
- Genel olarak, bir doğru denklemi $Ax + By + C = 0$ şeklinde ifade edilir. Bu denklem, koordinat sistemindeki bir doğruyu temsil eder.
- Adım 2: İkinci Doğru Denklemini Sadeleştirelim
- İkinci doğru denklemi olan $2ax + 2by + 2c = 0$ ifadesini inceleyelim. Bu denklemin her teriminde ortak bir çarpan olduğunu fark edebiliriz: $2$.
- Denklemin her iki tarafını $2$'ye bölelim (bir denklemin her iki tarafını sıfırdan farklı bir sayıya bölmek veya çarpmak denklemin çözüm kümesini değiştirmez, yani temsil ettiği doğruyu değiştirmez):
- $\frac{2ax + 2by + 2c}{2} = \frac{0}{2}$
- Bu sadeleştirme sonucunda elde ettiğimiz denklem: $ax + by + c = 0$
- Adım 3: Sadeleştirilmiş Denklemleri Karşılaştıralım
- İlk doğru denklemi: $L_1: ax + by + c = 0$
- Sadeleştirdiğimiz ikinci doğru denklemi: $L_2: ax + by + c = 0$
- Gördüğümüz gibi, her iki denklem de tamamen aynıdır. Bu, iki denklemin koordinat sisteminde aynı doğruyu temsil ettiği anlamına gelir.
- Adım 4: Doğruların İlişkisini Belirleyelim
- Eğer iki farklı denklem, sadeleştirildiğinde aynı matematiksel ifadeyi veriyorsa, bu doğrular aslında tek bir doğrudur. Geometrik olarak bu duruma "çakışık doğrular" denir. Çakışık doğrular, her noktada birbirinin üzerine binen, yani sonsuz sayıda ortak noktası olan doğrulardır.
- Adım 5: Seçenekleri Değerlendirelim
- A) Paralel değildir: Çakışık doğrular aynı zamanda paraleldir (eğimleri aynıdır), ancak "paralel değildir" ifadesi yanlış olur. Hatta paralel olmaktan daha fazlasıdırlar.
- B) Bir noktada kesişir: Bir noktada kesişen doğrular farklı eğimlere sahiptir. Çakışık doğruların ise sonsuz ortak noktası vardır, dolayısıyla sadece bir noktada kesişmezler.
- C) Çakışıktır: Yukarıdaki analizimizden de anlaşıldığı gibi, iki denklem aynı doğruyu temsil ettiği için doğrular çakışıktır. Bu ifade kesinlikle doğrudur.
- D) Dik açıyla kesişir: Dik açıyla kesişen doğruların eğimleri çarpımı $-1$'dir. Çakışık doğrular aynı doğru olduğu için bu durum söz konusu değildir.
Bu adımları takip ettiğimizde, verilen iki denklemin aslında aynı doğruyu temsil ettiğini ve bu nedenle doğruların çakışık olduğunu kesinlikle söyleyebiliriz.
Cevap C seçeneğidir.
