Sevgili öğrenciler,
Bu soruyu çözmek için öncelikle tam sayı bölenlerinin temel özelliklerini hatırlayalım. Bir sayının pozitif ve negatif bölenleri arasındaki ilişkiyi anlamak, soruyu kolayca çözmemizi sağlayacaktır.
- Tam Sayı Bölenleri Kavramı: Bir tam sayının bölenleri hem pozitif hem de negatif olabilir. Örneğin, $6$ sayısının pozitif bölenleri $1, 2, 3, 6$ iken, negatif bölenleri $-1, -2, -3, -6$'dır.
- Pozitif ve Negatif Bölen Sayısı İlişkisi: Her pozitif bölen için, o bölenin negatif işaretlisi de bir negatif bölen olacaktır. Bu durum, bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı ile negatif tam sayı bölenlerinin sayısının her zaman birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Yani, eğer bir sayının $N$ tane pozitif böleni varsa, aynı sayının $N$ tane de negatif böleni vardır.
- Soruda verilen "Bir A pozitif tam sayısının negatif tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısına eşittir." ifadesi de bu temel kuralı vurgulamaktadır. Bu, $A$ sayısı için özel bir durum değil, tüm pozitif tam sayılar için geçerli bir kuraldır.
- Sorunun Çözümü: Bize $48$ sayısının negatif tam sayı bölenlerinin sayısı soruluyor. Yukarıda açıkladığımız kurala göre, $48$ sayısının negatif tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısına eşittir. Bu nedenle, $48$ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmamız yeterlidir.
- $48$ Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma: İlk adım olarak $48$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
- $48 = 2 \times 24$
- $48 = 2 \times 2 \times 12$
- $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 6$
- $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
Yani, $48 = 2^4 \times 3^1$ şeklinde yazabiliriz.
- Pozitif Bölen Sayısı Formülü: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}$ ise, pozitif bölenlerinin sayısı $(a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)$ formülü ile bulunur.
- $48$ Sayısının Pozitif Bölen Sayısını Hesaplama: $48 = 2^4 \times 3^1$ ifadesindeki asal çarpanların üsleri $4$ (iki için) ve $1$ (üç için)'dir. Bu üsleri formülde yerine koyarsak: Pozitif bölen sayısı $ = (4+1) \times (1+1) = 5 \times 2 = 10$.
- Sonuç: $48$ sayısının $10$ tane pozitif tam sayı böleni vardır. Yukarıda belirttiğimiz gibi, pozitif bölen sayısı negatif bölen sayısına eşit olduğundan, $48$ sayısının negatif tam sayı bölenlerinin sayısı da $10$'dur.
Cevap C seçeneğidir.
