Bir ABC üçgeninin x eksenine göre yansıması alındığında A'B'C' üçgeni elde ediliyor. Daha sonra A'B'C' üçgeninin y eksenine göre simetrisi alınıyor.
Bu dönüşümler sonucunda orijinal ABC üçgeni ile son üçgen arasındaki ilişki nedir?
A) Tamamen çakışırlar
B) Sadece boyutları aynıdır
C) Orijine göre simetriktirler
D) Birbirlerinin ötelemesidirler
Bu soruyu çözmek için, verilen geometrik dönüşümleri adım adım inceleyelim ve bir üçgenin köşelerinin koordinatlarının nasıl değiştiğini gözlemleyelim. Genel bir $(x, y)$ noktası üzerinden bu dönüşümleri takip etmek, sonuca ulaşmamızı kolaylaştıracaktır.
- Adım 1: ABC üçgeninin x eksenine göre yansıması (A'B'C' üçgeni)
- Bir noktanın x eksenine göre yansıması alındığında, noktanın x koordinatı değişmezken, y koordinatı işaret değiştirir.
- Yani, orijinal ABC üçgenindeki herhangi bir $(x, y)$ noktası, A'B'C' üçgeninde bir $(x', y')$ noktasına dönüşür. Bu dönüşüm şu şekildedir: $$(x, y) \rightarrow (x', y') = (x, -y)$$
- Örneğin, A noktası $(x_A, y_A)$ ise, A' noktası $(x_A, -y_A)$ olur.
- Adım 2: A'B'C' üçgeninin y eksenine göre simetrisi (Son üçgen)
- Şimdi A'B'C' üçgenindeki $(x', y')$ noktalarının y eksenine göre simetrisini alacağız. Bir noktanın y eksenine göre simetrisi alındığında, noktanın y koordinatı değişmezken, x koordinatı işaret değiştirir.
- Yani, A'B'C' üçgenindeki $(x', y')$ noktası, son üçgende bir $(x'', y'')$ noktasına dönüşür. Bu dönüşüm şu şekildedir: $$(x', y') \rightarrow (x'', y'') = (-x', y')$$
- Adım 3: İki dönüşümü birleştirme
- İlk dönüşümde $(x', y') = (x, -y)$ bulmuştuk. Şimdi bu ifadeyi ikinci dönüşümde yerine koyalım:
- $x'' = -x'$ olduğu için, $x'' = -(x)$ olur.
- $y'' = y'$ olduğu için, $y'' = -y$ olur (çünkü $y' = -y$).
- Bu durumda, orijinal ABC üçgenindeki bir $(x, y)$ noktası, iki dönüşüm sonucunda son üçgende bir $(x'', y'')$ noktasına dönüşür. Bu dönüşümün genel kuralı şudur: $$(x, y) \rightarrow (x'', y'') = (-x, -y)$$
- Adım 4: Sonuç dönüşümün yorumlanması
- Bir $(x, y)$ noktasının $(-x, -y)$ noktasına dönüşmesi, noktanın orijine (koordinat sisteminin başlangıç noktası olan $(0, 0)$ noktasına) göre simetrisinin alınması anlamına gelir.
- Bu, orijinal ABC üçgeninin orijin etrafında $180^\circ$ döndürülmesiyle veya orijine göre yansıtılmasıyla elde edilen bir durumdur.
- Dolayısıyla, orijinal ABC üçgeni ile son üçgen, orijine göre simetriktir.
Seçenekleri incelediğimizde:
- A) Tamamen çakışırlar: Yanlış. Orijinal üçgen ile son üçgen ancak orijinde ise çakışır, genel olarak çakışmazlar.
- B) Sadece boyutları aynıdır: Yanlış. Yansıma ve simetri dönüşümleri, şeklin boyutlarını ve açısını korur (izometriktir). Ancak bu ifade, ilişkinin tamamını açıklamaz.
- C) Orijine göre simetriktirler: Doğru. Yaptığımız analiz sonucunda $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$ dönüşümünün orijine göre simetri olduğunu bulduk.
- D) Birbirlerinin ötelemesidirler: Yanlış. Öteleme, şekli belirli bir yönde ve mesafede kaydırır, ancak burada bir yansıma söz konusudur.
Cevap C seçeneğidir.
