6 kişilik bir sırada Ayşe ve Mehmet yan yana oturmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 5!Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirli kişilerin yan yana oturma şartı olan bir sıralama (permütasyon) problemiyle karşı karşıyayız. Adım adım nasıl çözeceğimizi inceleyelim:
Soruda Ayşe ve Mehmet'in yan yana oturması isteniyor. Bu durumda, Ayşe ve Mehmet'i ayrılmaz bir ikili, yani tek bir "kişi" veya "birim" gibi düşünebiliriz.
Başlangıçta 6 kişi vardı: Ayşe, Mehmet ve diğer 4 kişi. Şimdi bu 6 kişiyi şöyle gruplayabiliriz:
Toplamda elimizde kaç birim oldu? 1 (Ayşe-Mehmet ikilisi) + 4 (diğer kişiler) = 5 birim.
Elimizde 5 farklı birim (Ayşe-Mehmet ikilisi ve diğer 4 kişi) olduğuna göre, bu 5 birim bir sırada kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Bu, 5 farklı nesnenin sıralanışı demektir ve $5!$ (5 faktöriyel) şeklinde hesaplanır.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ farklı sıralama demektir.
Ayşe ve Mehmet yan yana oturmak zorunda, ancak kendi aralarında yer değiştirebilirler. Yani, "Ayşe Mehmet" şeklinde oturabilecekleri gibi, "Mehmet Ayşe" şeklinde de oturabilirler.
Bu iki kişinin kendi aralarındaki sıralanışı $2!$ (2 faktöriyel) şeklinde hesaplanır.
$2! = 2 \times 1 = 2$ farklı sıralama demektir.
Genel sıralamayı (5 birimin sıralanışı) ve özel sıralamayı (Ayşe ve Mehmet'in kendi aralarındaki sıralanışı) çarparak toplam farklı oturma şeklini buluruz.
Toplam farklı sıralama sayısı = (5 birimin sıralanışı) $\times$ (Ayşe ve Mehmet'in kendi aralarındaki sıralanışı)
Toplam farklı sıralama sayısı = $5! \times 2!$
Bu durumda, doğru cevap $5! \cdot 2!$ olacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
