Bu tür sıralama (permütasyon) sorularında, belirli koşullar altında nesneleri nasıl düzenleyeceğimizi adım adım düşünmemiz gerekir. Hadi sorumuzu birlikte inceleyelim:
- Adım 1: Grupları Belirleyelim ve Kendi İçlerindeki Sıralamalarını Hesaplayalım
Sorumuzda iki ayrı grup var: kız öğrenciler ve erkek öğrenciler. Ayrıca, her grubun kendi içinde bir arada olması koşulu var. Bu, her grubu tek bir "blok" gibi düşüneceğimiz anlamına gelir.
Öncelikle kız öğrencilerin kendi aralarında kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulalım. 5 kız öğrenci kendi aralarında $5!$ (5 faktöriyel) farklı şekilde sıralanabilir.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ farklı sıralama.
Şimdi de erkek öğrencilerin kendi aralarında kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulalım. 4 erkek öğrenci kendi aralarında $4!$ (4 faktöriyel) farklı şekilde sıralanabilir.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ farklı sıralama.
- Adım 2: Grupların Kendi Aralarındaki Sıralamasını Hesaplayalım
Artık elimizde iki büyük "blok" var: bir kız öğrenci bloğu ve bir erkek öğrenci bloğu. Soru, kızların bir arada, erkeklerin bir arada olmasını istediği için bu iki bloğu tek birer birim gibi düşünebiliriz.
Bu iki blok (Kız Grubu ve Erkek Grubu) kendi aralarında kaç farklı şekilde sıralanabilir? İki farklı birim olduğu için $2!$ (2 faktöriyel) farklı şekilde sıralanabilirler.
$2! = 2 \times 1 = 2$ farklı sıralama (yani "Kızlar-Erkekler" veya "Erkekler-Kızlar" şeklinde).
- Adım 3: Tüm Olasılıkları Birleştirelim
Toplam sıralama sayısını bulmak için, her adımda bulduğumuz olasılıkları çarpmamız gerekir. Çünkü bu olayların hepsi aynı anda gerçekleşir: kızlar kendi aralarında sıralanır VE erkekler kendi aralarında sıralanır VE bu iki grup kendi aralarında sıralanır.
Toplam sıralama sayısı = (Kızların kendi içindeki sıralaması) $\times$ (Erkeklerin kendi içindeki sıralaması) $\times$ (Grupların kendi arasındaki sıralaması)
Toplam sıralama sayısı = $5! \times 4! \times 2!$
Bu durumda, doğru seçenek $2! \cdot 5! \cdot 4!$ olan B seçeneğidir.
Cevap B seçeneğidir.
