\(\int (e^x + 3^x) \,dx\) integralinin sonucu nedir?
A) \(e^x + 3^x + C\)
B) \(e^x + \frac{3^x}{\ln 3} + C\)
C) \(e^x + \ln 3 \cdot 3^x + C\)
D) \(\frac{e^x}{\ln e} + \frac{3^x}{\ln 3} + C\)
Bu integral sorusunu adım adım çözerek, temel integral alma kurallarını hatırlayalım ve uygulayalım.
- Adım 1: İntegrali Ayırma
- İntegral alma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerindeki dağılma özelliğini kullanarak, verilen integrali iki ayrı integralin toplamı şeklinde yazabiliriz. Bu kurala göre, $\int (f(x) + g(x)) \,dx = \int f(x) \,dx + \int g(x) \,dx$ olur.
- Buna göre, $\int (e^x + 3^x) \,dx = \int e^x \,dx + \int 3^x \,dx$ şeklinde yazılır.
- Adım 2: $e^x$ Fonksiyonunun İntegralini Alma
- Üstel fonksiyonlardan $e^x$'in integrali, kendisiyle aynıdır. Bu temel bir integral kuralıdır: $\int e^x \,dx = e^x + C_1$ (buradaki $C_1$ bir integral sabitidir).
- Adım 3: $a^x$ Formundaki Fonksiyonun İntegralini Alma
- Genel olarak, $a^x$ şeklindeki bir üstel fonksiyonun integrali $\frac{a^x}{\ln a}$ şeklindedir. Burada $a$ pozitif bir sabit sayıdır ve $a \neq 1$ olmalıdır. Bu kural, $\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C_2$ şeklindedir.
- Bizim durumumuzda, $a=3$ olduğundan, $\int 3^x \,dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C_2$ (buradaki $C_2$ başka bir integral sabitidir).
- Adım 4: Sonuçları Birleştirme
- Şimdi, Adım 2 ve Adım 3'te bulduğumuz sonuçları birleştirelim:
- $\int (e^x + 3^x) \,dx = e^x + C_1 + \frac{3^x}{\ln 3} + C_2$
- İki ayrı integral sabiti ($C_1$ ve $C_2$) yerine tek bir genel integral sabiti $C$ kullanabiliriz ($C = C_1 + C_2$).
- Böylece integralin nihai sonucu: $e^x + \frac{3^x}{\ln 3} + C$ olur.
Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
