Bir bakteri kültüründeki bakteri sayısı \(N(t) = 1000 \cdot e^{0.2t}\) fonksiyonu ile modelleniyor. Bakteri sayısının değişim hızının integrali alınırsa hangi fonksiyon elde edilir?
A) \(200 \cdot e^{0.2t} + C\)Sevgili öğrenciler, bu soruda bir bakteri kültüründeki bakteri sayısını veren bir fonksiyonun değişim hızının integralini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen fonksiyon $N(t) = 1000 \cdot e^{0.2t}$'dir. Soruda "bakteri sayısının değişim hızının integrali" isteniyor. Bu iki aşamalı bir işlemdir:
Öncelikle bakteri sayısının değişim hızını bulmalıyız. Değişim hızı, bir fonksiyonun zamana göre türevi anlamına gelir. Yani, $N(t)$ fonksiyonunun türevini alacağız.
Daha sonra, bulduğumuz bu değişim hızının (türevin) integralini alacağız.
Matematiksel olarak, bir fonksiyonun türevini alıp sonra bu türevin integralini alırsak, başlangıçtaki fonksiyonun kendisini (bir sabit terim $C$ eklenmiş haliyle) elde ederiz. Yani, $\int N'(t) dt = N(t) + C$ olacaktır. Bu temel integral teoremidir.
Bakteri sayısı fonksiyonumuz $N(t) = 1000 \cdot e^{0.2t}$'dir. Bu fonksiyonun $t$'ye göre türevini alalım. Üstel fonksiyonların türev kuralını hatırlayalım: Eğer $f(x) = k \cdot e^{ax}$ ise, $f'(x) = k \cdot a \cdot e^{ax}$ olur.
Bu kuralı $N(t)$'ye uygulayalım:
$N'(t) = \frac{d}{dt}(1000 \cdot e^{0.2t})$
$N'(t) = 1000 \cdot (0.2 \cdot e^{0.2t})$
$N'(t) = 200 \cdot e^{0.2t}$
Bu, bakteri sayısının değişim hızı fonksiyonudur.
Şimdi bulduğumuz değişim hızı fonksiyonu $N'(t) = 200 \cdot e^{0.2t}$'nin integralini almalıyız. Üstel fonksiyonların integral kuralını hatırlayalım: Eğer $\int k \cdot e^{ax} dx$ ise, integral $\frac{k}{a} \cdot e^{ax} + C$ olur.
Bu kuralı $N'(t)$'ye uygulayalım:
$\int N'(t) dt = \int 200 \cdot e^{0.2t} dt$
Sabit terimi integral dışına alabiliriz:
$= 200 \cdot \int e^{0.2t} dt$
Şimdi $e^{0.2t}$'nin integralini alalım. Burada $a = 0.2$'dir:
$= 200 \cdot \left( \frac{1}{0.2} e^{0.2t} \right) + C$
Unutmayalım ki $\frac{1}{0.2} = \frac{1}{2/10} = \frac{10}{2} = 5$'tir.
$= 200 \cdot (5 \cdot e^{0.2t}) + C$
$= 1000 \cdot e^{0.2t} + C$
Elde ettiğimiz sonuç $1000 \cdot e^{0.2t} + C$'dir. Bu sonuç, başlangıçtaki $N(t)$ fonksiyonunun kendisi artı bir integral sabiti $C$'dir. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
