Bir fonksiyonun türevi \(f'(x) = e^x + 2^x\) ve \(f(0) = 3\) ise \(f(1)\) değeri kaçtır?
A) \(e + \frac{2}{\ln 2} + 1\)
B) \(e + 2 + 2\)
C) \(e + \frac{1}{\ln 2} + 2\)
D) \(e + \frac{2}{\ln 2} + 2 - \frac{1}{\ln 2}\)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun türevi verildiğinde ve bir başlangıç koşulu bilindiğinde, fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, türevin tersi olan integral alma işlemini ve başlangıç koşulunu kullanarak integral sabitini bulmayı gerektirir. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Fonksiyonu Bulmak İçin Türevin İntegralini Alın.
- Bize $f'(x) = e^x + 2^x$ verildi. $f(x)$ fonksiyonunu bulmak için $f'(x)$'in integralini almalıyız.
- İntegral kurallarını hatırlayalım:
- $\int e^x dx = e^x + C_1$
- $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C_2$ (Burada $a$ bir sabittir.)
- Bu kuralları kullanarak $f(x)$'i bulalım:
- $f(x) = \int (e^x + 2^x) dx$
- $f(x) = \int e^x dx + \int 2^x dx$
- $f(x) = e^x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$ (Buradaki $C$, integral sabitidir.)
- 2. Adım: Başlangıç Koşulunu Kullanarak İntegral Sabiti $C$'yi Bulun.
- Bize $f(0) = 3$ olduğu bilgisi verildi. Bu bilgiyi $f(x)$ denkleminde yerine koyarak $C$ sabitini bulabiliriz.
- $f(0) = e^0 + \frac{2^0}{\ln 2} + C = 3$
- Hatırlayalım ki $e^0 = 1$ ve $2^0 = 1$'dir.
- $1 + \frac{1}{\ln 2} + C = 3$
- Şimdi $C$'yi yalnız bırakalım:
- $C = 3 - 1 - \frac{1}{\ln 2}$
- $C = 2 - \frac{1}{\ln 2}$
- 3. Adım: $f(x)$ Fonksiyonunu Tamamen Yazın.
- Bulduğumuz $C$ değerini $f(x)$ denklemine yerleştirelim:
- $f(x) = e^x + \frac{2^x}{\ln 2} + \left(2 - \frac{1}{\ln 2}\right)$
- 4. Adım: $f(1)$ Değerini Hesaplayın.
- Şimdi bizden istenen $f(1)$ değerini bulmak için $x=1$ değerini $f(x)$ denkleminde yerine koyalım:
- $f(1) = e^1 + \frac{2^1}{\ln 2} + 2 - \frac{1}{\ln 2}$
- $f(1) = e + \frac{2}{\ln 2} + 2 - \frac{1}{\ln 2}$
- Kesirli terimleri birleştirelim:
- $f(1) = e + \frac{2 - 1}{\ln 2} + 2$
- $f(1) = e + \frac{1}{\ln 2} + 2$
Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
