A) \(x + x\ln 2 + C\)
B) \(1 + \ln 2 + C\)
C) \(x(1 + \ln 2) + C\)
D) \(e^x(1 + \ln 2) + C\)
Bu integral sorusunu adım adım çözerek sonuca ulaşalım:
Adım 1: İntegral İçindeki İfadeyi Sadeleştirme
Öncelikle integralin içindeki ifadeyi daha basit bir hale getirelim. Pay kısmında ortak bir çarpan olan $e^x$ bulunmaktadır.
$\frac{e^x + e^x \cdot \ln 2}{e^x}$ ifadesini pay kısmını $e^x$ parantezine alarak yeniden yazabiliriz:
$\frac{e^x(1 + \ln 2)}{e^x}$
Adım 2: Ortak Çarpanları Sadeleştirme
Pay ve paydada bulunan ortak $e^x$ çarpanlarını sadeleştirebiliriz (çünkü $e^x$ hiçbir zaman sıfır olmaz ve tanımsızlık yaratmaz).
Sadeleştirme sonucunda integralin içindeki ifade şu hale gelir:
$1 + \ln 2$
Gördüğünüz gibi, integralin içindeki ifade artık $x$'e bağlı olmayan bir sabittir. ($1$ bir sabit, $\ln 2$ de bir sabit sayıdır, dolayısıyla toplamları da bir sabittir.)
Adım 3: Sadeleştirilmiş İfadeyi İntegralleme
Şimdi integralimiz şu şekle dönüştü:
$\int (1 + \ln 2) \,dx$
Bir sabitin integralini alırken, sabiti $x$ ile çarparız ve integral sabiti $C$'yi ekleriz. Yani $\int k \,dx = kx + C$ formülünü kullanırız.
Burada $k = 1 + \ln 2$ olduğu için integralin sonucu:
$(1 + \ln 2)x + C$
Bu ifadeyi $x$ parantezine alarak da yazabiliriz:
$x(1 + \ln 2) + C$
Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştırma
Bulduğumuz sonuç olan $x(1 + \ln 2) + C$ ifadesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda, C seçeneği ile birebir örtüştüğünü görüyoruz.
