Karmaşık sayılarda çarpma Test 2

Bir elektronik devredeki empedans değeri Z = 3 + 4i olarak verilmiştir. Bu empedansın 2 + i empedansıyla seri bağlanması durumunda toplam empedans kaç olur?

A) 5 + 3i
B) 6 + 5i
C) 5 + 5i
D) 6 + 4i

Elektronik devrelerde empedans, bir devrenin alternatif akıma (AC) karşı gösterdiği toplam direnci ifade eden karmaşık bir sayıdır. Empedansın gerçek kısmı direnci (R), sanal kısmı ise reaktansı (X) temsil eder. Yani, $Z = R + iX$ şeklinde gösterilir.

İki veya daha fazla empedans seri bağlandığında, toplam empedansı bulmak için bu empedansları tıpkı dirençleri toplar gibi doğrudan toplarız. Karmaşık sayılarla toplama işlemi yaparken, gerçek kısımları kendi aralarında, sanal kısımları ise kendi aralarında toplarız.

• Adım 1: Verilen empedansları belirleyelim.

  Soruda bize iki empedans değeri verilmiştir:

  Birinci empedans: $Z_1 = 3 + 4i$

  İkinci empedans: $Z_2 = 2 + i$

• Adım 2: Seri bağlı empedansların toplamını bulma formülünü hatırlayalım.

  Seri bağlı empedanslar için toplam empedans ($Z_{toplam}$), bireysel empedansların doğrudan toplamıdır:

  $Z_{toplam} = Z_1 + Z_2$

• Adım 3: Empedans değerlerini formülde yerine koyarak toplama işlemini yapalım.

  Şimdi verilen empedans değerlerini formülde yerine koyalım:

  $Z_{toplam} = (3 + 4i) + (2 + i)$

  Karmaşık sayıları toplarken, gerçek kısımları kendi aralarında, sanal (imajiner) kısımları ise kendi aralarında toplarız:

  Gerçek kısımların toplamı: $3 + 2 = 5$

  Sanal kısımların toplamı: $4i + i = 4i + 1i = (4+1)i = 5i$

• Adım 4: Toplam empedansı yazalım.

  Bu durumda, toplam empedansımız:

  $Z_{toplam} = 5 + 5i$

Bulduğumuz sonuç olan $5 + 5i$, seçenekler arasında C seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap C seçeneğidir.