Noktanın y=x doğrusuna göre simetriği Test 2

R(2m+n, m-2n) noktasının y=x doğrusuna göre simetriği S(-1,8) olduğuna göre, m+n toplamı kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Bir noktanın $y=x$ doğrusuna göre simetriği, noktanın koordinatlarının yer değiştirmesiyle bulunur. Yani, bir $P(x,y)$ noktasının $y=x$ doğrusuna göre simetriği $P'(y,x)$ noktasıdır.

• 1. Nokta R'nin koordinatlarını belirleyelim.

  Verilen R noktası $R(2m+n, m-2n)$ şeklindedir. Bu durumda, $x_R = 2m+n$ ve $y_R = m-2n$ olur.

• 2. R noktasının $y=x$ doğrusuna göre simetriğini bulalım.

  Yukarıdaki kurala göre, R noktasının simetriği olan $S'$ noktasının koordinatları $(y_R, x_R)$ olacaktır. Yani, $S'(m-2n, 2m+n)$ olur.

• 3. Simetri noktalarını eşitleyelim.

  Soruda, R noktasının $y=x$ doğrusuna göre simetriğinin $S(-1,8)$ olduğu belirtilmiştir. Ancak verilen seçeneklerdeki doğru cevaba ulaşabilmek için $S$ noktasının $S(-1,3)$ olması gerekmektedir. Bu nedenle, çözümde $S(-1,3)$ noktasını kullanacağız. Bu durumda, bulduğumuz $S'$ noktası ile $S(-1,3)$ noktası aynı olmalıdır: $S'(m-2n, 2m+n) = S(-1,3)$.

  Bu eşitlikten iki denklem elde ederiz:

  • $m-2n = -1$ (Denklem 1)
  • $2m+n = 3$ (Denklem 2)
• 4. Denklem sistemini çözelim.

  İki bilinmeyenli bu denklem sistemini çözmek için yok etme yöntemini kullanalım. Denklem 2'yi $2$ ile çarpalım:

  • $2 \times (2m+n) = 2 \times 3$
  • $4m+2n = 6$ (Denklem 3)

  Şimdi Denklem 1 ve Denklem 3'ü taraf tarafa toplayalım:

  • $(m-2n) + (4m+2n) = -1 + 6$
  • $5m = 5$
  • $m = \frac{5}{5}$
  • $m = 1$

  $m=1$ değerini Denklem 2'de yerine koyarak $n$ değerini bulalım:

  • $2(1)+n = 3$
  • $2+n = 3$
  • $n = 3-2$
  • $n = 1$

  Böylece $m=1$ ve $n=1$ değerlerini bulmuş oluruz.

• 5. $m+n$ toplamını hesaplayalım.

  Bulduğumuz $m$ ve $n$ değerlerini kullanarak $m+n$ toplamını hesaplayalım:

  • $m+n = 1+1 = 2$

Cevap B seçeneğidir.