Harita çiziminde bozulmaların olması

Ekvator'dan geçen bir tüp (silindir) içine çizilen bir projeksiyonda, Ekvator çizgisi boyunca ölçek hatası yoktur. Ancak, \(60^\circ\) kuzey enleminde bulunan St. Petersburg şehrine gidildiğinde, harita üzerindeki uzunluklar gerçeğe göre yaklaşık iki kat daha büyük çıkmaktadır.

Bu haritada ölçek hatasının enleme bağlı olarak değişmesinin matematiksel sebebi nedir? Açıklayınız.

💡 Bu durum, silindirik projeksiyonların karakteristik bir özelliği olan "ölçek faktörü"nün enlemle değişmesidir.

• ➡️ Bir küre üzerinde, \(60^\circ\) enlemindeki bir paralel dairenin yarıçapı, Ekvator'un yarıçapının \( \cos(60^\circ) = 0.5 \) katıdır. Yani Ekvator'dakinden iki kat daha küçüktür.
• ➡️ Silindirik projeksiyonlarda (Mercator gibi), tüm paraleller silindirin yarıçapına eşit olacak şekilde (yani Ekvator'un yarıçapına eşit) uzatılarak çizilir. Bu, şekilleri korumak için gerekli bir işlemdir.
• ➡️ Sonuç olarak, \(60^\circ\) enlemindeki bir uzunluk, haritaya aktarılırken gerçekte olduğundan \( 1 / \cos(60^\circ) = 1 / 0.5 = 2 \) kat büyütülür.
• ➡️ Bu nedenle, Ekvator'da ölçek faktörü 1 iken (ölçek hatası yok), \(60^\circ\) enleminde ölçek faktörü 2 olur. Yani haritadaki 2 cm, gerçekte 1 cm'lik uzunluğu temsil eder.

✅ Matematiksel sebep, küre üzerindeki paralel dairelerin yarıçaplarının enlem ile azalması, ancak projeksiyonun bunları sabit (Ekvator yarıçapına eşit) göstermesidir. Ölçek faktörü (\(k\)) yaklaşık olarak \( k = \sec(Enlem) \) veya \( k = 1 / \cos(Enlem) \) formülü ile hesaplanır.