Soru:
"Bu sınıftaki öğrencilerin hepsi ya matematikten ya da felsefeden başarılıdır." önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Bu sınıftaki öğrencilerin hepsi matematikten başarılıdır.
- B) Bu sınıftaki öğrencilerin hepsi felsefeden başarısızdır.
- C) Bu sınıftaki öğrencilerden en az biri hem matematikten hem de felsefeden başarısızdır.
- D) Bu sınıftaki öğrencilerden en az biri matematikten başarılıdır.
- E) Bu sınıftaki öğrencilerden en az biri felsefeden başarılıdır.
Çözüm:
Bu soru, bir evrensel niceleyicinin (∀) ve ayrışık (veya/∨) önermenin olumsuzlanmasını bilmeyi gerektirir. 🧠
- ➡️ Önermeyi sembolize edelim: ∀x (M(x) ∨ F(x)). Burada M(x): "x matematikten başarılı", F(x): "x felsefeden başarılı".
- ➡️ Bir önermenin olumsuzu, niceleyici tersine döner (∀ ↔ ∃) ve ana bileşen olumsuzlanır.
- ➡️ Yani, ¬[∀x (M(x) ∨ F(x))] ≡ ∃x ¬(M(x) ∨ F(x))
- ➡️ De Morgan Kuralı'nı uygulayalım: ¬(M(x) ∨ F(x)) ≡ (¬M(x) ∧ ¬F(x))
- ➡️ Bu bize şunu verir: ∃x (¬M(x) ∧ ¬F(x))
✅ Bu da "Bu sınıftaki öğrencilerden en az biri hem matematikten hem de felsefeden başarısızdır" anlamına gelir. Doğru cevap C şıkkıdır.
