Soru:
\( (p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p) \) önermesinin bir çift gerektirme olduğunu ve totoloji olup olmadığını doğruluk tablosu ile gösteriniz.
Çözüm:
💡 Bu önerme, bir koşullu önermenin karşıt tersi ile olan mantıksal eşdeğerliğini ifade eder. Bunun bir totoloji olup olmadığını kontrol edeceğiz.
- ➡️ Adım 1: Doğruluk tablosu için sütunları oluşturalım: p, q, \( p \to q \), \( \neg q \), \( \neg p \), \( \neg q \to \neg p \), \( (p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p) \).
- ➡️ Adım 2: Tüm p ve q değer kombinasyonlarını (1,1; 1,0; 0,1; 0,0) yazalım.
- ➡️ Adım 3: Her satır için değerleri hesaplayalım:
- p=1, q=1: \( p \to q = 1 \), \( \neg q \to \neg p = 1 \), \( 1 \leftrightarrow 1 = 1 \)
- p=1, q=0: \( p \to q = 0 \), \( \neg q \to \neg p = 0 \), \( 0 \leftrightarrow 0 = 1 \)
- p=0, q=1: \( p \to q = 1 \), \( \neg q \to \neg p = 1 \), \( 1 \leftrightarrow 1 = 1 \)
- p=0, q=0: \( p \to q = 1 \), \( \neg q \to \neg p = 1 \), \( 1 \leftrightarrow 1 = 1 \)
- ➡️ Adım 4: Görüldüğü gibi, son sütundaki \( \leftrightarrow \) işleminin sonucu tüm durumlarda 1 (Doğru) çıkmaktadır.
✅ Sonuç: \( (p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p) \) önermesi bir çift gerektirmedir ve totolojidir.
