8. sınıf üçgenin yardımcı elemanları nelerdir?

Bir \( PRS \) üçgeninde \( |PR| = 14 \) cm, \( |PS| = 16 \) cm ve \( |RS| = 10 \) cm'dir. Bu üçgenin kenar uzunluklarına ait kenar orta dikmeleri çizilmiştir. Bu kenar orta dikmelerin kesişim noktası olan çevrel çemberin merkezi, üçgenin kenarlarından birine 6 cm uzaklıktadır. Buna göre, çevrel çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

💡 Bir üçgenin kenar orta dikmeleri, kenarları ortalar ve onlara dik olan doğrulardır. Bu doğruların kesişim noktası, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir (circumcenter). Çevrel çemberin merkezinin bir kenara olan uzaklığı, o kenarın orta noktasına olan uzaklığına eşit değildir; ancak merkez, her köşeye olan uzaklığı (yarıçap) eşittir.

• ➡️ Soruda, çevrel çemberin merkezinin (\( O \) noktasının) bir kenara olan dik uzaklığının 6 cm olduğu verilmiş. Ancak hangi kenara olduğu belirtilmemiş. Bu durumda, çevrel çemberin yarıçapını (\( R \)) bulmak için bir dik üçgen oluşturmalıyız.
• ➡️ Diyelim ki \( O \) noktasından \( [RS] \) kenarına olan dik uzaklık 6 cm olsun. \( [RS] \) kenarının orta noktasına \( M \) diyelim. \( |RM| = |MS| = 5 \) cm'dir.
• ➡️ \( O \) noktası, \( [RS] \) kenarının orta dikmesi üzerinde olduğu için \( |OM| = 6 \) cm'dir (çünkü kenar orta dikme, kenara diktir).
• ➡️ \( OMR \) dik üçgenini oluşturalım. Bu üçgende \( |OM| = 6 \) cm (dik kenar), \( |RM| = 5 \) cm (dik kenar) ve \( |OR| = R \) (hipotenüs, yani yarıçap) olur.
• ➡️ Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( R^2 = |OM|^2 + |RM|^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61 \).
• ➡️ Buradan \( R = \sqrt{61} \) cm bulunur.

✅ Sonuç: Çevrel çemberin yarıçapı \( \sqrt{61} \) cm'dir. (Not: Bu çözüm, verilen uzaklığın \( [RS] \) kenarı için olduğu varsayımına dayanır. Soru metninde hangi kenar olduğu belirtilmediği için bu en mantıklı yaklaşımdır.)