Soru: ABC üçgeninde, [DE] // [BC] ve [DF] // [AC]'dir. D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerinde, F noktası [BC] üzerindedir. |AD| = 3 cm, |DB| = 2 cm ve |DE| = 6 cm olduğuna göre, |BC| ve |DF| uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
- DE // BC olduğundan, ABC ∼ ADE benzerliği:
\[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]
|AB| = 3 + 2 = 5 cm
\[ \frac{3}{5} = \frac{6}{|BC|} \Rightarrow |BC| = \frac{30}{3} = 10 \text{ cm} \] - DF // AC olduğundan, ABC ∼ DBF benzerliği:
\[ \frac{|DB|}{|AB|} = \frac{|DF|}{|AC|} \]
Ancak |AC| bilinmiyor. Önce ADE ∼ ABC benzerliğinden |AE|'yi bulalım:
\[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{|AE|}{|AC|} \]
|AE| = 3k, |AC| = 5k diyelim. Ayrıca DE // BC ve DF // AC olduğundan, DEFC bir paralelkenardır, yani |DE| = |FC| = 6 cm. |BC| = 10 cm olduğundan, |BF| = 10 - 6 = 4 cm. DBF ∼ ABC benzerliğinden:
\[ \frac{|DB|}{|AB|} = \frac{|BF|}{|BC|} = \frac{|DF|}{|AC|} \]
\[ \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = \frac{|DF|}{5k} \]
\[ \frac{2}{5} = \frac{|DF|}{5k} \Rightarrow |DF| = 2k \]
k değerini bulmak için, ADE ∼ ABC'den: |DE|/|BC| = 3/5, zaten kullanıldı. Veya, DF // AC ve DE // BC'den, ADE ve DBF üçgenleri benzer olabilir, ancak direkt:
DBF ∼ ABC'de, |DF|/|AC| = 2/5, ve |AC| = 5k ise, |DF| = 2k. k'yı bulmaya gerek yok, soruda sayısal değer istenmiyorsa, |DF| = 2k cm denebilir, ama soruda sayısal değer istendiği için, |AC|'yi bulalım: ADE ∼ ABC'den, |DE|/|BC| = 6/10 = 3/5, bu oran tüm kenarlar için geçerli, yani |AE|/|AC| = 3/5, ama |AE| bilinmiyor. Alternatif: DF // AC olduğundan, ADF üçgeni ile ABC benzer değil, çünkü D, A-B arasında. Daha basit: DBF ∼ ABC benzerliğinden, |DF|/|AC| = 2/5. |AC|'yi bulmak için, ADE ∼ ABC'den: |AE|/|AC| = 3/5, ama |AE| bilinmediğinden, |AC| bulunamaz. Soruda eksik bilgi var gibi, ancak tipik bir soruda, |DF| için benzerlik oranı kullanılır: |DF| = (|DB|/|AB|) * |AC|, ama |AC| verilmemiş. Bu nedenle, |BC| = 10 cm bulunur, |DF| için yeterli bilgi yoktur, soru hatalı olabilir. Pratikte, öğrencilere benzerlik oranlarını uygulamayı gösterdik.
