Soru:
Paydası iki terimli ve bu terimlerden biri karekök olan bir ifadenin eşleniği nasıl bulunur ve nasıl uygulanır? Aşağıdaki ifadeyi paydası rasyonel olacak şekilde yazınız: \( \frac{4}{1 + \sqrt{3}} \)
Çözüm:
💡 \( a + \sqrt{b} \) gibi bir ifadenin eşleniği, işaretin değişmiş hali olan \( a - \sqrt{b} \)'dir. Bu iki ifadenin çarpımı bir iki kare farkı oluşturur: \( (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b \).
- ➡️ 1. Adım: Paydanın eşleniğini bul. Payda \( 1 + \sqrt{3} \) olduğu için eşleniği \( 1 - \sqrt{3} \)'tür.
- ➡️ 2. Adım: Kesri eşlenik ile genişlet. \( \frac{4}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \)
- ➡️ 3. Adım: Payı çarp. \( 4 \times (1 - \sqrt{3}) = 4 - 4\sqrt{3} \)
- ➡️ 4. Adım: Paydayı çarp (iki kare farkı formülünü kullan). \( (1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2 \)
- ➡️ 5. Adım: Kesri yaz. \( \frac{4 - 4\sqrt{3}}{-2} \)
- ➡️ 6. Adım: Sadeleştir. Pay ve paydayı -2'ye böl. \( -2 + 2\sqrt{3} \) veya \( 2\sqrt{3} - 2 \)
✅ Sonuç: İfadenin rasyonel hali \( 2\sqrt{3} - 2 \) olur.
