Soru:
Paydasında fark şeklinde ve köklü bir ifade bulunan bir kesir nasıl sadeleştirilir? Aşağıdaki ifadeyi paydası rasyonel olacak şekilde yazınız: \( \frac{6}{\sqrt{5} - 2} \)
Çözüm:
💡 \( \sqrt{a} - b \) gibi bir ifadenin eşleniği, işaretin değişmiş hali olan \( \sqrt{a} + b \)'dir. Burada da iki kare farkı yöntemini kullanacağız.
- ➡️ 1. Adım: Paydanın eşleniğini bul. Payda \( \sqrt{5} - 2 \) olduğu için eşleniği \( \sqrt{5} + 2 \)'dir.
- ➡️ 2. Adım: Kesri eşlenik ile genişlet. \( \frac{6}{\sqrt{5} - 2} \times \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} \)
- ➡️ 3. Adım: Payı çarp. \( 6 \times (\sqrt{5} + 2) = 6\sqrt{5} + 12 \)
- ➡️ 4. Adım: Paydayı çarp (iki kare farkı formülünü kullan). \( (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - (2)^2 = 5 - 4 = 1 \)
- ➡️ 5. Adım: Kesri yaz. Payda 1 olduğu için sonuç doğrudan paya eşittir: \( \frac{6\sqrt{5} + 12}{1} = 6\sqrt{5} + 12 \)
✅ Sonuç: İfadenin rasyonel hali \( 6\sqrt{5} + 12 \) olur.
