Soru:
Güneş Sistemi'mizdeki bir gezegenin yüzey sıcaklığı, Güneş'e olan ortalama uzaklığına (\(d\)) bağlıdır. Eğer bir gezegenin Güneş'e olan uzaklığı, Dünya'nın Güneş'e olan uzaklığının (\(1 \text{ AB}\)) 4 katı ise, bu gezegenin yüzey sıcaklığı Dünya'ya göre yaklaşık kaç kat daha az olur? (Not: Sıcaklık, gelen enerji miktarının dörtte bir kökü ile orantılıdır.)
Çözüm:
💡 Soruyu fiziksel bir modelle adım adım çözelim:
- ➡️ Bir gezegene ulaşan enerji, uzaklığın karesi ile ters orantılıdır. Yani, uzaklık \(d\) ise, enerji \( \frac{1}{d^2} \) ile orantılıdır.
- ➡️ Soruda verilen gezegenin uzaklığı, Dünya'nın uzaklığının 4 katıdır: \(d_{gezegen} = 4 \times d_{Dünya}\).
- ➡️ Bu gezegene ulaşan enerji, Dünya'ya ulaşan enerjinin \( \frac{1}{(4)^2} = \frac{1}{16} \) katıdır.
- ➡️ Sorunun not kısmında belirtildiği gibi, sıcaklık (\(T\)), gelen enerjinin dörtte bir kökü (\(E^{1/4}\)) ile orantılıdır. Bu, termal denge ve Stefan-Boltzmann yasasından türetilebilecek bir ilişkidir.
- ➡️ O halde sıcaklık oranı: \( \frac{T_{gezegen}}{T_{Dünya}} = \left( \frac{E_{gezegen}}{E_{Dünya}} \right)^{1/4} = \left( \frac{1}{16} \right)^{1/4} \).
- ➡️ \( \left( \frac{1}{16} \right)^{1/4} = \left( \frac{1}{2^4} \right)^{1/4} = \frac{1}{2^{4 \times (1/4)}} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \).
✅ Sonuç: Bu gezegenin yüzey sıcaklığı, Dünya'nın yüzey sıcaklığının yarısı kadar, yani 2 kat daha azdır.
