Soru:
DESY (Alman Elektron Senkrotronu) gibi bir parçacık hızlandırıcı merkezinde, bir elektron 20 GeV (Giga elektronvolt) kinetik enerjiye sahip olacak şekilde hızlandırılıyor. Bu elektronun hızı, ışık hızının (\(c\)) yüzde kaçına eşittir? (Elektronun durgun enerjisi \(E_0 = 0.511\) MeV'dir.)
Çözüm:
💡 Bu soruda toplam enerji, durgun enerji ve kinetik enerji arasındaki ilişkiyi ve Lorentz faktörünü kullanacağız. Formüller: \(E_{toplam} = E_0 + K\) ve \(E_{toplam} = \gamma E_0\), buradan \(\gamma = \frac{E_{toplam}}{E_0}\)
- ➡️ 1. Adım: Birimleri eşitleyelim. Kinetik Enerji \(K = 20\) GeV = \(20,000\) MeV. Durgun Enerji \(E_0 = 0.511\) MeV.
- ➡️ 2. Adım: Toplam enerjiyi bulalım. \(E_{toplam} = E_0 + K = 0.511 MeV + 20,000 MeV \approx 20,000.511\) MeV. Kinetik enerji çok büyük olduğu için \(E_{toplam} \approx 20,000\) MeV alabiliriz.
- ➡️ 3. Adım: Lorentz faktörünü (\(\gamma\)) hesaplayalım. \(\gamma = \frac{E_{toplam}}{E_0} = \frac{20,000}{0.511} \approx 39,139\)
- ➡️ 4. Adım: Hızı bulmak için \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) formülünü kullanırız. \(\gamma\) çok büyük olduğu için elektronun hızı ışık hızına çok yakındır. \(\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}\) formülünü kullanacağız.
- ➡️ 5. Adım: \(\frac{1}{\gamma^2} = \frac{1}{(39139)^2} \approx 6.53 \times 10^{-10}\). Yani \(1 - \frac{v^2}{c^2} \approx 6.53 \times 10^{-10}\). Bu durumda \(\frac{v^2}{c^2} \approx 1 - 6.53 \times 10^{-10}\).
✅ Sonuç olarak, \(\frac{v}{c} \approx \sqrt{1 - 6.53 \times 10^{-10}} \approx 1 - 3.265 \times 10^{-10}\). Bu da elektronun hızının ışık hızının %99.999999967'sine eşit olduğu anlamına gelir. Işık hızına inanılmaz derecede yakındır!
