Soru:
\(\sin(2x) = \frac{1}{2}\) denkleminin \([0, 2\pi)\) aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
💡 Önce \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\) denkleminin genel çözümünü bulalım, sonra \(\theta = 2x\) diyerek x değerlerine ulaşalım.
- ➡️ \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\) ise \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) veya \(\theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) olur (k ∈ ℤ).
- ➡️ \(\theta\) yerine \(2x\) yazalım:
- \(2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)
- \(2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
- ➡️ Her iki denklemi de 2'ye bölelim:
- \(x = \frac{\pi}{12} + k\pi\)
- \(x = \frac{5\pi}{12} + k\pi\)
- ➡️ Şimdi k'ya değer vererek \([0, 2\pi)\) aralığındaki x değerlerini bulalım.
- k=0 için: \(x = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\)
- k=1 için: \(x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}\)
- k=2 için değerler \(2\pi\)'yi geçer.
✅ Sonuç: Çözüm kümesi \(\{\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\}\)'dir.
