Soru:
Bir ABC üçgeninde, \(m(\widehat{A}) = 45^\circ\), \(m(\widehat{B}) = 60^\circ\) ve A açısının karşısındaki BC kenarı 10 cm'dir. B açısının karşısındaki AC kenarının uzunluğunu bulunuz. (\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\))
Çözüm:
💡 Bir üçgende iki açı ve bir kenar verildiğinde, bilinmeyen kenarı Sinüs Teoremi ile bulabiliriz.
- ➡️ Sinüs Teoremi: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
- ➡️ Önce C açısını bulalım: \(C = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ\).
- ➡️ Soruda:
- a = BC = 10 cm (A açısının karşısı)
- b = AC = ? cm (B açısının karşısı)
- ➡️ Sinüs Teoremi'ni a ve b kenarları için yazalım: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\).
- ➡️ Değerleri yerine koyalım: \(\frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}\).
- ➡️ \(\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
- ➡️ Sol tarafı sadeleştirelim: \(\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\).
- ➡️ Denklem: \(10\sqrt{2} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
- ➡️ b'yi yalnız bırakalım: \(b = 10\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6}\) cm.
✅ Sonuç: AC kenarının uzunluğu \(5\sqrt{6}\) cm'dir.
