Soru:
\( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \) özdeşliğini kullanarak, \( \cos(75^\circ) \) değerini hesaplayınız. (İpucu: \( 75^\circ = 2 \times 37.5^\circ \), ancak daha pratik bir açı bulunabilir.)
Çözüm:
💡 Çift açı formülünü doğrudan kullanmak pratik olmayabilir. Onun yerine, yarım açı formülünü ve bilinen bir açıyı kullanacağız. \( 75^\circ = 150^\circ / 2 \).
- ➡️ Yarım açı formülü: \( \cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}} \). \( \theta = 150^\circ \) alalım.
- ➡️ \( \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
- ➡️ Formülde yerine koyalım: \( \cos(75^\circ) = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}} \). Açı dar olduğu için kök pozitiftir.
- ➡️ \( \cos(75^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \)
✅ Sonuç: \( \cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \).
