Soru:
\( \sin(x) + \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) denkleminin \( [0, 2\pi] \) aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
💡 Denklemi çözmek için her iki tarafın karesini alabilir veya toplam-fark formüllerini kullanabiliriz. İkinci yolu tercih edelim.
- ➡️ \( \sin(x) + \cos(x) \) ifadesini \( R\sin(x + \phi) \) formunda yazabiliriz. \( R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) ve \( \phi = \frac{\pi}{4} \)'tür.
- ➡️ Böylece denklem: \( \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) haline gelir.
- ➡️ Her iki tarafı \( \sqrt{2} \)'ye bölelim: \( \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \).
- ➡️ \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \) denkleminin çözümleri \( \theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) ve \( \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)'dir (\( k \in \mathbb{Z} \)).
- ➡️ \( \theta = x + \frac{\pi}{4} \) olduğundan:
- Durum 1: \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) → \( x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi \). \( [0, 2\pi] \) aralığında \( k=1 \) için \( x = \frac{23\pi}{12} \).
- Durum 2: \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) → \( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \). \( [0, 2\pi] \) aralığında \( k=0 \) için \( x = \frac{7\pi}{12} \).
✅ Sonuç: Çözüm kümesi \( \{ \frac{7\pi}{12}, \frac{23\pi}{12} \} \).
