Soru:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle A = 30^\circ \), \( \angle B = 45^\circ \) ve \( a = 8 \text{ cm} \) (A açısının karşısındaki kenar) olduğuna göre, \( b \) kenarının uzunluğunu bulunuz. (Sinüs Teoremi kullanılacaktır.)
Çözüm:
💡 Sinüs teoremi: Bir üçgende kenarlar, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır. \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \).
- ➡️ İlk adım, \( \angle C \)'yi bulmaktır. \( \angle C = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ \).
- ➡️ Sinüs teoremini \( a \) ve \( b \) kenarları için yazalım: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \).
- ➡️ Bilinen değerleri yerine koyalım: \( \frac{8}{\sin(30^\circ)} = \frac{b}{\sin(45^\circ)} \).
- ➡️ \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) ve \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) olduğundan: \( \frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \).
- ➡️ \( 16 = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \) → \( 16 = b \times \frac{2}{\sqrt{2}} \) → \( 16 = b \times \sqrt{2} \) → \( b = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \).
✅ Sonuç: \( b = 8\sqrt{2} \text{ cm} \).
