Soru:
Her \(n \geq 1\) pozitif tam sayısı için \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) formülünün doğruluğunu algoritmik bir ispat yaklaşımı ile inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Bu karmaşık toplam formülünün ispatını, bir doğrulama algoritması çerçevesinde gerçekleştireceğiz.
- ➡️ Adım 1 (Temel Durum Testi): Algoritma, en küçük girdi ile başlar. \(n=1\) için: Sol Taraf = \(1^2 = 1\). Sağ Taraf = \(\frac{1*2*3}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Test başarılı.
- ➡️ Adım 2 (İndüksiyon Hipotezi): \(n=k\) için formülün doğru olduğunu kabul et. Yani, \(1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\).
- ➡️ Adım 3 (Sonraki Adım Hesaplama): Algoritma, bir sonraki terimi (\((k+1)^2\)) ekler ve yeni toplamı hesaplar: \(S = (1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2\). Hipotez gereği, bu \(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2\)'ye eşittir.
- ➡️ Adım 4 (Cebirsel Manipülasyon): İfadeyi ortak paydada birleştirip sadeleştirelim: \(\frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} = \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6} = \frac{(k+1)[2k^2 + 7k + 6]}{6}\). Paydaki ikinci dereceden ifade çarpanlarına ayrılır: \(2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)\).
- ➡️ Adım 5 (Formülü Doğrulama): Son ifade: \(\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\). Bu ifade, formülde \(n\) yerine \(k+1\) koyduğumuzda elde ettiğimiz \(\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}\) ifadesinin ta kendisidir.
✅ Algoritmanın tüm adımları tutarlı bir şekilde tamamlandı. Formül, tüm \(n \geq 1\) değerleri için geçerlidir.
