Soru:
Aşağıdaki cebirsel önermeyi algoritmik bir yaklaşımla ispatlayınız: Herhangi bir \(n\) pozitif tam sayısı için, \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2\) eşitliği doğru mudur?
Çözüm:
💡 Bu problemi, toplamın doğruluğunu kontrol eden bir algoritma gibi düşünebiliriz. Algoritmamız, önermeyi sonlu bir adım dizisi ile doğrulamak üzere kurgulanmıştır.
- ➡️ Adım 1 (Temel Durum): \(n=1\) için eşitliği kontrol edelim. Sol taraf: \(2*1 - 1 = 1\). Sağ taraf: \(1^2 = 1\). \(1 = 1\) olduğundan, temel durum doğrudur.
- ➡️ Adım 2 (İndüksiyon Hipotezi): Eşitliğin \(n=k\) için doğru olduğunu varsayalım. Yani, \(1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) = k^2\).
- ➡️ Adım 3 (İndüksiyon Adımı): Şimdi, \(n=k+1\) için eşitliğin doğru olduğunu göstermeliyiz. \(n=k+1\) durumunda sol taraf: \(1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) + (2(k+1)-1)\). Bu ifade, hipotezimiz sayesinde \(k^2 + (2k+1)\)'e eşittir.
- ➡️ Adım 4 (Sadeleştirme ve Sonuç): \(k^2 + 2k + 1\) ifadesi \((k+1)^2\)'ye eşittir. Bu da \(n=k+1\) için sağ tarafa eşittir.
✅ Algoritmik yaklaşımımızın tüm adımları başarıyla tamamlandı. Sonuç olarak, önerme tüm pozitif \(n\) tam sayıları için doğrudur.
