Soru:
\(x\) ve \(y\) birer reel sayıdır. \(-2 < x \le 5\) ve \(1 \le y < 4\) olduğuna göre, \(3x - 2y\) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu tür sorularda ifadenin en büyük ve en küçük değerini bulmak için, değişkenlerin sınır değerlerini kullanırız. Ancak dikkat! Bir değişken en büyük, diğeri en küçük değerini aldığında ifadenin en büyük değeri çıkmayabilir. Katsayıların işaretine göre hangi kombinasyonun kullanılacağını belirlemeliyiz.
- ➡️ Önce \(x\) ve \(y\)'nin aralıklarını yazalım: \(x \in (-2, 5]\) ve \(y \in [1, 4)\).
- ➡️ İfademiz \(3x - 2y\). Bu ifadeyi en büyük yapmak için \(3x\)'i mümkün olduğunca büyük, \(-2y\)'yi de mümkün olduğunca büyük (yani \(y\)'yi mümkün olduğunca küçük) seçmeliyiz. \(x\)'in en büyük değeri 5, \(y\)'nin en küçük değeri 1'dir. Bu durumda ifade: \(3(5) - 2(1) = 15 - 2 = 13\) olur. Bu değere ulaşılabilir mi? Evet, \(x=5\) ve \(y=1\) verilen aralıklara aittir. O halde en büyük değer 13'tür.
- ➡️ İfadeyi en küçük yapmak için \(3x\)'i mümkün olduğunca küçük, \(-2y\)'yi de mümkün olduğunca küçük (yani \(y\)'yi mümkün olduğunca büyük) seçmeliyiz. \(x\)'in en küçük değeri -2'ye çok yakındır ama -2 dahil değildir. Bu yüzden -2'yi kullanamayız. \(y\)'nin en büyük değeri 4'e çok yakındır ama 4 dahil değildir. Bu yüzden 4'ü kullanamayız. Bu nedenle en küçük değer bir alt sınırdır, ona ulaşılamaz. Hesaplama yapalım: \(3(-2) - 2(4) = -6 - 8 = -14\). Bu değere ulaşılamaz çünkü \(x\) tam olarak -2 olamaz, \(y\) tam olarak 4 olamaz. O halde ifadenin alabileceği en küçük değer -14'ten büyük olmak zorundadır. Bizden tam sayı değeri istendiği için, -14'ten büyük olan en küçük tam sayıyı ararız, o da -13'tür. (-13 değerine örneğin x=-1.9 ve y=3.9 için ulaşılabilir: \(3(-1.9)-2(3.9) = -5.7 - 7.8 = -13.5\) bu -13'ten küçüktür, ancak x ve y'yi ayarlayarak -13 değerini elde etmek mümkündür).
✅ Sonuç: En büyük tam sayı değeri 13, en küçük tam sayı değeri -13'tür.
