Soru:
Aşağıdaki işlemi gerçekleştiriniz ve sonucu \( a + bi \) standart formunda yazınız: \( \frac{5 + 2i}{1 - i} \)
Çözüm:
💡 Paydayı reel sayı yapmak için, pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız. \( (1 - i) \)'nin eşleniği \( (1 + i) \)'dir.
- ➡️ Pay ve paydayı paydanın eşleniği \( (1 + i) \) ile çarpalım:
\( \frac{(5 + 2i)}{(1 - i)} \cdot \frac{(1 + i)}{(1 + i)} \)
- ➡️ Pay kısmını çarpalım (dağılma özelliği):
\( (5)(1) + (5)(i) + (2i)(1) + (2i)(i) = 5 + 5i + 2i + 2i^2 \)
\( i^2 = -1 \) yazarsak: \( 5 + 7i + 2(-1) = 5 + 7i - 2 = 3 + 7i \)
- ➡️ Payda kısmını çarpalım:
\( (1 - i)(1 + i) = 1^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \)
(Burada \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) özdeşliği kullanıldı.)
- ➡️ Elde edilen kesri yazalım: \( \frac{3 + 7i}{2} \)
- ➡️ Terimleri 2'ye bölerek standart forma getirelim: \( \frac{3}{2} + \frac{7}{2}i \)
✅ Sonuç: \( \frac{3}{2} + \frac{7}{2}i \)
