Soru:
Aşağıdaki karmaşık sayıların karesini alınız ve sonucu \( a + bi \) formunda bulunuz.
- a) \( (2i)^2 \)
- b) \( (3 + 4i)^2 \)
Çözüm:
💡 Bu soruda iki farklı karmaşık sayının karesini alacağız. Temel kuralımız \( i^2 = -1 \).
a) \( (2i)^2 \) için:
- ➡️ Kuvveti dağıtalım: \( (2)^2 \cdot (i)^2 \)
- ➡️ Sayıları yerine koyalım: \( 4 \cdot i^2 \)
- ➡️ \( i^2 = -1 \) yazalım: \( 4 \cdot (-1) \)
✅ Sonuç: \( -4 \) (Bu tamamen reel bir sayıdır, sanal kısım 0'dır.)
b) \( (3 + 4i)^2 \) için:
- ➡️ Kare alma işlemini yapalım: \( (3 + 4i)(3 + 4i) \)
- ➡️ Dağılma özelliğini uygulayalım:
\( (3)(3) + (3)(4i) + (4i)(3) + (4i)(4i) \)
- ➡️ Terimleri hesaplayalım: \( 9 + 12i + 12i + 16i^2 \)
- ➡️ \( i^2 \) yerine \( -1 \) yazalım: \( 9 + 24i + 16(-1) \)
- ➡️ Gerçel ve sanal kısımları toplayalım:
Gerçel: \( 9 - 16 = -7 \)
Sanal: \( 24i \)
✅ Sonuç: \( -7 + 24i \)
