Parçalı fonksiyon nedir

Aşağıda verilen parçalı fonksiyonun tanımsız olduğu x değerlerini bulunuz. Bu noktalarda limit var mıdır? İnceleyiniz.

\[ h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x \neq 3 \\ a, & x = 3 \end{cases} \]

💡 İlk parça, paydası \( x-3 \) olduğu için \( x = 3 \) noktasında tanımsızdır. Ancak fonksiyon, \( x=3 \) noktası için ayrı bir parça ile tanımlanmıştır. Amacımız, bu noktada bir limit olup olmadığını ve sürekliliği incelemek.

• ➡️ Limit İncelemesi: \( x \neq 3 \) için \( h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} \) ifadesini sadeleştirelim.
  \( \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \) ( \( x \neq 3 \) iken)
  Bu durumda, \( x \) 3'e yaklaşırken \( h(x) \), \( x+3 \) değerine yaklaşır.
  \( \lim_{x \to 3} h(x) = 3 + 3 = 6 \)
• ➡️ Fonksiyon Değeri: \( h(3) = a \) olarak verilmiştir.
• ➡️ Süreklilik: Eğer \( a = 6 \) ise, \( \lim_{x \to 3} h(x) = h(3) \) olacağından fonksiyon \( x=3 \)'te süreklidir. Aksi halde sürekli değildir.

✅ Fonksiyon \( x \neq 3 \) için tanımlıdır. \( x=3 \) noktasında ise değeri \( a \)'dır. Bu noktada limit vardır ve 6'ya eşittir.