Soru:
f, g ve h fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
- \( f(x) = \sqrt{x} \)
- \( g(x) = x + 4 \)
- \( h(x) = x^2 \)
Bileşke fonksiyonun birleşme özelliğini göstererek,
(f ∘ g) ∘ h ve
f ∘ (g ∘ h) ifadelerinin eşit olduğunu doğrulayınız. İşlemi \( x = 1 \) için ayrı ayrı yapınız.
Çözüm:
🌟 Bileşke fonksiyonun birleşme özelliği vardır: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h). Bunu somut bir sayı ile kontrol edelim.
- ➡️ Yol 1: (f ∘ g) ∘ h hesaplanışı:
Önce (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x+4) = \sqrt{x+4} bulunur.
Sonra ((f ∘ g) ∘ h)(x) = (f ∘ g)(h(x)) = (f ∘ g)(x^2) = \sqrt{(x^2) + 4}.
\( x = 1 \) için: \( \sqrt{(1)^2 + 4} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \).
- ➡️ Yol 2: f ∘ (g ∘ h) hesaplanışı:
Önce (g ∘ h)(x) = g(h(x)) = g(x^2) = (x^2) + 4 bulunur.
Sonra (f ∘ (g ∘ h))(x) = f((g ∘ h)(x)) = f(x^2 + 4) = \sqrt{x^2 + 4}.
\( x = 1 \) için: \( \sqrt{(1)^2 + 4} = \sqrt{5} \).
✅ Sonuç: Her iki yolda da \( x=1 \) için sonuç \( \sqrt{5} \) çıkmaktadır. Bu da bileşke işleminin birleşme özelliğini doğrular.
