Soru:
\( f(x) = \frac{1}{x-1} \) ve \( g(x) = 2x \) fonksiyonları veriliyor. (f ∘ g)(x) bileşke fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
⚠️ Bileşke fonksiyonun tanımlı olabilmesi için, hem g fonksiyonunun görüntüsü hem de bu görüntünün f fonksiyonunun tanım kümesinde olması gerekir.
- ➡️ İlk adım, (f ∘ g)(x)'i yazmaktır: \( (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = \frac{1}{(2x) - 1} \).
- ➡️ İkinci adım, bu fonksiyonun tanımsız olduğu noktayı bulmaktır. Bir kesirli ifade, paydası sıfır olduğunda tanımsızdır.
\( 2x - 1 = 0 \) denklemini çözelim: \( 2x = 1 \) → \( x = \frac{1}{2} \).
- ➡️ Ayrıca, g fonksiyonunun çıktısı olan \( 2x \) değerinin, f fonksiyonunun tanım kümesi dışına çıkmadığından emin olmalıyız. f'in tanım kümesi \( x \neq 1 \)'dir. Yani \( g(x) \neq 1 \) olmalıdır.
\( 2x \neq 1 \) → \( x \neq \frac{1}{2} \). Görüldüğü gibi bu koşul da bizi aynı kısıtlamaya götürür.
✅ Sonuç: Bileşke fonksiyon \( x = \frac{1}{2} \) noktasında tanımsızdır. Bu nedenle en geniş tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\} \) (Reel sayılar kümesinden 1/2 sayısının çıkarılmış hali) olur.
