Çözümlü Örnek 2
Soru:
Aşağıda parçalı tanımlı \( g(x) \) fonksiyonu verilmiştir. Bu fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında limiti var mıdır?
\(
g(x) = \begin{cases}
x + 1, & x < 2 \\
5, & x = 2 \\
x^2 - 1, & x > 2
\end{cases}
\)
Çözüm:
🧠 Limit, fonksiyonun o noktadaki değerine değil, o noktaya yaklaşırkenki davranışına bakar.
- ➡️ Soldan Limit: \( x \), 2'ye soldan yaklaşırken (\( x < 2 \)) kural \( x + 1 \) geçerlidir.
\( \lim_{x \to 2^{-}} g(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x + 1) = 2 + 1 = 3 \)
- ➡️ Sağdan Limit: \( x \), 2'ye sağdan yaklaşırken (\( x > 2 \)) kural \( x^2 - 1 \) geçerlidir.
\( \lim_{x \to 2^{+}} g(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^2 - 1) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \)
- ➡️ Karşılaştırma: Soldan limit (3) ve sağdan limit (3) birbirine eşittir.
✅ Sonuç: \( \lim_{x \to 2} g(x) = 3 \) olduğu için fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında limiti vardır.
