Çözümlü Örnek 4
Soru:
\( f(x) = \frac{|x - 3|}{x - 3} \) fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasında limiti var mıdır? İnceleyiniz.
Çözüm:
📊 Mutlak değer içeren fonksiyonlarda, kritik noktada (\( x=3 \)) sağdan ve soldan limitleri incelemek gerekir.
- ➡️ Mutlak Değerin Açılımı:
\( |x - 3| = \begin{cases} x - 3, & x \geq 3 \\ -(x - 3), & x < 3 \end{cases} \)
- ➡️ Bu durumda fonksiyon:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x - 3}{x - 3} = 1, & x > 3 \\ \frac{-(x - 3)}{x - 3} = -1, & x < 3 \end{cases} \)
- ➡️ Soldan Limit: \( x \), 3'e soldan yaklaşırken \( f(x) = -1 \)'dir.
\( \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = -1 \)
- ➡️ Sağdan Limit: \( x \), 3'e sağdan yaklaşırken \( f(x) = 1 \)'dir.
\( \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = 1 \)
- ➡️ Karşılaştırma: -1 ≠ 1 olduğundan, limit yoktur.
✅ Sonuç: Sağdan ve soldan limitler farklı olduğu için \( \lim_{x \to 3} f(x) \) yoktur.
