Soru:
Bir bakteri popülasyonunun büyüklüğü, t saat cinsinden olmak üzere, \( P(t) = 100e^{0.1t} \) fonksiyonu ile modellenmiştir. t=5 anında popülasyonun anlık büyüme oranını bulunuz.
Çözüm:
💡 Anlık büyüme oranı, popülasyon fonksiyonunun zamana göre türevidir.
- ➡️ Birinci adım: Fonksiyonun türevini alalım. \( P(t) = 100e^{0.1t} \)
- ➡️ İkinci adım: Zincir kuralını uygulayarak türevi bulalım. \( P'(t) = 100 \cdot e^{0.1t} \cdot 0.1 = 10e^{0.1t} \)
- ➡️ Üçüncü adım: t=5 anı için türevi hesaplayalım. \( P'(5) = 10e^{0.1 \cdot 5} = 10e^{0.5} \)
- ➡️ Dördüncü adım: Yaklaşık değerini bulalım (\( e^{0.5} \approx 1.6487 \)). \( P'(5) \approx 10 \cdot 1.6487 = 16.487 \)
✅ Sonuç: Popülasyonun t=5 anındaki anlık büyüme oranı yaklaşık olarak 16.49 bakteri/saat'tir.
