Anlık değişim oranı nedir

Bir daire şeklindeki balonun yarıçapı, saniyede 2 cm sabit hızla artmaktadır. Yarıçap 5 cm olduğu anda, dairenin alanındaki anlık değişim oranı nedir? (Daire alan formülü: \( A = \pi r^2 \))

💡 Burada zincir kuralını kullanmamız gerekiyor. Zamana (t) bağlı olarak yarıçap (r) değişiyor ve bizden A'nın t'ye göre anlık değişim oranı (\( \frac{dA}{dt} \)) isteniyor.

• ➡️ Birinci adım: Verilenleri yazalım. \( \frac{dr}{dt} = 2 \) cm/s ve r = 5 cm.
• ➡️ İkinci adım: A'nın r'ye göre türevini alalım. \( A = \pi r^2 \) ise \( \frac{dA}{dr} = 2\pi r \)
• ➡️ Üçüncü adım: Zincir kuralını uygulayalım. \( \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = (2\pi r) \cdot (2) = 4\pi r \)
• ➡️ Dördüncü adım: r=5 için değeri yerine koyalım. \( \frac{dA}{dt} = 4\pi (5) = 20\pi \)

✅ Sonuç: Yarıçap 5 cm olduğunda, alanın anlık değişim oranı \( 20\pi \) cm²/s'dir. Bu yaklaşık olarak 62.83 cm²/s'ye eşittir.