Soru:
\( f(x) = x^3 - 4x \) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktalar arasında kalan ve x-ekseninin üstünde bulunan bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Öncelikle fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmalıyız.
- ➡️ \( x^3 - 4x = 0 \) denklemini çözelim: \( x(x^2 - 4) = 0 \) → \( x(x-2)(x+2) = 0 \). Kökler: \( x = -2, x = 0, x = 2 \).
- ➡️ Fonksiyonun [-2, 0] aralığındaki işaretine bakalım: \( x = -1 \) için \( (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0 \). Yani bu aralıkta fonksiyon pozitif (x-ekseninin üstünde).
- ➡️ Alan = \( \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx \). İntegrali alalım: \( \frac{x^4}{4} - 2x^2 \)
- ➡️ Sınırları yerine koyalım: \( \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = (0) - \left( \frac{16}{4} - 2 \cdot 4 \right) = 0 - (4 - 8) = 0 - (-4) = 4 \)
✅ Sonuç: İstenen alan \( 4 \) birimkaredir.
