Soru:
\( f(x) = x^2 - 4 \) ve \( g(x) = -x^2 + 2x \) eğrileri arasında kalan kapalı bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Önce iki eğrinin kesişim noktalarını bulmalıyız. Bu noktalar, alanı hesaplayacağımız integralin sınırlarını belirleyecek.
- ➡️ Kesişim noktaları: \( x^2 - 4 = -x^2 + 2x \) → \( 2x^2 - 2x - 4 = 0 \) → \( x^2 - x - 2 = 0 \). Denklemi çözelim: \( (x-2)(x+1) = 0 \) → \( x = -1 \) ve \( x = 2 \).
- ➡️ Hangi fonksiyonun daha büyük olduğuna bakalım. \( x = 0 \) noktasını test edelim: \( f(0) = -4 \), \( g(0) = 0 \). Görüldüğü gibi \( g(x) > f(x) \) bu aralıkta.
- ➡️ Alan = \( \int_{-1}^{2} [(\text{üstteki fonksiyon}) - (\text{alttaki fonksiyon})] dx = \int_{-1}^{2} \left( (-x^2+2x) - (x^2-4) \right) dx \)
- ➡️ İntegrali sadeleştirelim: \( \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \)
- ➡️ İntegrali alalım: \( \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \)
- ➡️ Hesaplayalım:
\( x=2 \) için: \( -\frac{16}{3} + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 12 = \frac{-16+36}{3} = \frac{20}{3} \)
\( x=-1 \) için: \( \frac{2}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} - 3 = \frac{2-9}{3} = -\frac{7}{3} \)
Fark: \( \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \)
✅ Sonuç: İki eğri arasında kalan bölgenin alanı \( 9 \) birimkaredir.
