Soru:
Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız: \(\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx\)
Çözüm:
💡 Önceki örnekte bulduğumuz belirsiz integral sonucunu kullanacağız ve sınırları yerine koyacağız.
- ➡️ 1. Adım: Belirsiz integralin sonucunu hatırlayalım.
\(\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C\)
- ➡️ 2. Adım: Belirli integrali, sınır değerlerini kullanarak yazalım.
\(\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx = \left[ x \ln(x) - x \right]_{1}^{e}\)
- ➡️ 3. Adım: Üst sınır (\(x = e\)) için değeri hesaplayalım.
\(e \cdot \ln(e) - e = e \cdot 1 - e = e - e = 0\)
- ➡️ 4. Adım: Alt sınır (\(x = 1\)) için değeri hesaplayalım.
\(1 \cdot \ln(1) - 1 = 1 \cdot 0 - 1 = -1\)
- ➡️ 5. Adım: Üst sınırdan alt sınırı çıkaralım.
\(0 - (-1) = 1\)
✅ Sonuç: \(\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx = 1\)
