Soru:
Aşağıdaki integrali hesaplayınız: \(\int x \ln(x) \, dx\)
Çözüm:
💡 Bu integralde, yine kısmi integrasyon yöntemi kullanılır. Bu sefer \(u\) ve \(dv\) seçimine dikkat edeceğiz.
- ➡️ 1. Adım: \(u\) ve \(dv\)'yi seçelim.
\(u = \ln(x)\) ve \(dv = x \, dx\) olsun.
- ➡️ 2. Adım: \(du\) ve \(v\)'yi bulalım.
\(du = \frac{1}{x} dx\) ve \(v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}\)
- ➡️ 3. Adım: Kısmi integrasyon formülünü uygulayalım.
\(\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx\)
- ➡️ 4. Adım: Kalan integrali hesaplayalım.
\(\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C\)
- ➡️ 5. Adım: Tüm ifadeleri birleştirelim.
\(\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\)
✅ Sonuç: \(\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\)
