Soru:
Aşağıdaki integrali hesaplayınız: \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\)
Çözüm:
💡 Bu integrali çözmek için değişken değiştirme (yerine koyma) yöntemini kullanmak çok uygundur.
- ➡️ 1. Adım: Yeni bir değişken tanımlayalım.
\(u = \ln(x)\) diyelim.
- ➡️ 2. Adım: \(u\)'nun türevini alalım.
\(du = \frac{1}{x} dx\)
- ➡️ 3. Adım: İntegrali yeni değişken cinsinden ifade edelim.
\(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du\)
- ➡️ 4. Adım: Yeni integrali hesaplayalım.
\(\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C\)
- ➡️ 5. Adım: \(u\) yerine orijinal ifadeyi (\(\ln(x)\)) yazalım.
\(\frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln(x))^2}{2} + C\)
✅ Sonuç: \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{(\ln(x))^2}{2} + C\)
