Soru:
Aşağıdaki integrali kısmi integrasyon yöntemiyle hesaplayınız. Bu örnekte, çözüm sonunda başlangıçtaki integral tekrar karşımıza çıkacak ve denklem çözerek sonuca ulaşacağız.
\[ \int e^x \sin(x) dx \]
Çözüm:
Bu integral, kısmi integrasyonun döngüsel (cyclic) uygulandığı tipik bir örnektir.
- ➡️ 1. Adım (İlk Kısmi İntegrasyon):
\(u = \sin(x)\) → \(du = \cos(x) dx\)
\(dv = e^x dx\) → \(v = e^x\)
\(I = \int e^x \sin(x) dx = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) dx\)
- ➡️ 2. Adım (İkinci Kısmi İntegrasyon): \(\int e^x \cos(x) dx\) integrali için tekrar kısmi integrasyon uygulayalım.
\(u = \cos(x)\) → \(du = -\sin(x) dx\)
\(dv = e^x dx\) → \(v = e^x\)
\(\int e^x \cos(x) dx = e^x \cos(x) - \int e^x (-\sin(x)) dx = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) dx\)
Görüldüğü gibi \(\int e^x \sin(x) dx\) tekrar karşımıza çıktı. Buna \(I\) diyelim.
- ➡️ 3. Adım: Denklem kuralım.
\(I = e^x \sin(x) - \left[ e^x \cos(x) + I \right]\)
\(I = e^x \sin(x) - e^x \cos(x) - I\)
- ➡️ 4. Adım: \(I\)'yı yalnız bırakalım.
\(I + I = e^x \sin(x) - e^x \cos(x)\)
\(2I = e^x (\sin(x) - \cos(x))\)
\(I = \frac{e^x}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C\)
✅ Sonuç: \(\int e^x \sin(x) dx = \frac{e^x}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C\)
