Soru:
Aşağıdaki integrali kısmi integrasyon yöntemiyle hesaplayınız:
\[ \int x^2 e^x dx \]
Çözüm:
Burada polinom derecesi 2 olduğu için kısmi integrasyonu iki kez uygulamamız gerekecek. 💡 İşlem sırasında polinomun derecesi her seferinde 1 azalacak.
- ➡️ 1. Adım (İlk Kısmi İntegrasyon):
\(u = x^2\) → \(du = 2x dx\)
\(dv = e^x dx\) → \(v = e^x\)
\(\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx\)
- ➡️ 2. Adım (İkinci Kısmi İntegrasyon): \(\int x e^x dx\) integrali için tekrar kısmi integrasyon uygulayalım.
\(u = x\) → \(du = dx\)
\(dv = e^x dx\) → \(v = e^x\)
\(\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x\)
- ➡️ 3. Adım: Bulduğumuz sonucu yerine koyalım.
\(\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C\)
- ➡️ 4. Adım: İfadeyi düzenleyelim.
\(\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C\)
✅ Sonuç: \(\int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C\)
