Soru:
Aşağıdaki integralin değerini, \([0, 2]\) aralığını 4 eşit alt aralığa bölerek ve sol uç noktaları kullanarak bir Riemann toplamı ile yaklaşık olarak hesaplayınız. Kullanılacak fonksiyon: \(f(x) = x^2\).
Çözüm:
💡 Adım 1: Aralığı ve alt aralık genişliğini belirleyelim.
- ➡️ Aralık: \([0, 2]\). Alt aralık sayısı: \(n = 4\).
- ➡️ Alt aralık genişliği: \(\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\).
💡 Adım 2: Alt aralıkların sol uç noktalarını belirleyelim.
- ➡️ Alt aralıklar: \([0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]\).
- ➡️ Sol uç noktaları: \(x_1^* = 0, x_2^* = 0.5, x_3^* = 1, x_4^* = 1.5\).
💡 Adım 3: Riemann toplamını yazalım ve hesaplayalım.
- ➡️ \(L = \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) \Delta x = \Delta x [f(0) + f(0.5) + f(1) + f(1.5)]\)
- ➡️ \(f(0) = 0^2=0\), \(f(0.5)=0.25\), \(f(1)=1\), \(f(1.5)=2.25\).
- ➡️ \(L = 0.5 \times (0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 0.5 \times 3.5 = 1.75\).
✅ Sonuç: \(\int_{0}^{2} x^2 \, dx \approx 1.75\).
