Soru:
Aşağıdaki integralin değerini, \([1, 3]\) aralığını 4 eşit olmayan alt aralığa bölerek bir Riemann toplamı ile yaklaşık olarak hesaplayınız. Alt aralıklar: \([1, 1.5], [1.5, 2.2], [2.2, 2.7], [2.7, 3]\). Her bir alt aralıkta sağ uç noktası kullanılacaktır. Fonksiyon: \(f(x) = 3x - x^2\).
Çözüm:
💡 Adım 1: Her bir alt aralığın genişliğini belirleyelim.
- ➡️ \(\Delta x_1 = 1.5 - 1 = 0.5\)
- ➡️ \(\Delta x_2 = 2.2 - 1.5 = 0.7\)
- ➡️ \(\Delta x_3 = 2.7 - 2.2 = 0.5\)
- ➡️ \(\Delta x_4 = 3 - 2.7 = 0.3\)
💡 Adım 2: Alt aralıkların sağ uç noktalarını belirleyelim.
- ➡️ Sağ uç noktaları: \(x_1^* = 1.5, x_2^* = 2.2, x_3^* = 2.7, x_4^* = 3\).
💡 Adım 3: Riemann toplamını yazalım ve hesaplayalım.
- ➡️ \(R = \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) \Delta x_i = f(1.5)\Delta x_1 + f(2.2)\Delta x_2 + f(2.7)\Delta x_3 + f(3)\Delta x_4\)
- ➡️ \(f(1.5) = 3(1.5) - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25\)
- ➡️ \(f(2.2) = 3(2.2) - (2.2)^2 = 6.6 - 4.84 = 1.76\)
- ➡️ \(f(2.7) = 3(2.7) - (2.7)^2 = 8.1 - 7.29 = 0.81\)
- ➡️ \(f(3) = 3(3) - (3)^2 = 9 - 9 = 0\)
- ➡️ \(R = (2.25 \times 0.5) + (1.76 \times 0.7) + (0.81 \times 0.5) + (0 \times 0.3)\)
- ➡️ \(R = 1.125 + 1.232 + 0.405 + 0 = 2.762\).
✅ Sonuç: \(\int_{1}^{3} (3x - x^2) \, dx \approx 2.76\).
