Soru:
Aşağıdaki integralin değerini, \([2, 6]\) aralığını 4 eşit alt aralığa bölerek ve orta noktaları kullanarak bir Riemann toplamı ile yaklaşık olarak hesaplayınız. Kullanılacak fonksiyon: \(f(x) = \frac{12}{x}\).
Çözüm:
💡 Adım 1: Aralığı ve alt aralık genişliğini belirleyelim.
- ➡️ Aralık: \([2, 6]\). Alt aralık sayısı: \(n = 4\).
- ➡️ Alt aralık genişliği: \(\Delta x = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1\).
💡 Adım 2: Alt aralıkların orta noktalarını belirleyelim.
- ➡️ Alt aralıklar: \([2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 6]\).
- ➡️ Orta noktalar: \(x_1^* = 2.5, x_2^* = 3.5, x_3^* = 4.5, x_4^* = 5.5\).
💡 Adım 3: Riemann toplamını yazalım ve hesaplayalım.
- ➡️ \(M = \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) \Delta x = \Delta x [f(2.5) + f(3.5) + f(4.5) + f(5.5)]\)
- ➡️ \(f(2.5) = \frac{12}{2.5}=4.8\), \(f(3.5)\approx 3.4286\), \(f(4.5)\approx 2.6667\), \(f(5.5)\approx 2.1818\).
- ➡️ \(M = 1 \times (4.8 + 3.4286 + 2.6667 + 2.1818) = 1 \times 13.0771 \approx 13.08\).
✅ Sonuç: \(\int_{2}^{6} \frac{12}{x} \, dx \approx 13.08\).
