Soru:
"Bir ikizkenar üçgende tabana inen kenarortay, aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır." teoremini olmayana ergi yöntemi ile ispatlayınız. (\( ABC \) ikizkenar üçgen, \( AB = AC \), \( D \), \( BC \)'nin orta noktası olsun.)
Çözüm:
💡 Teoremin tersini, yani \( AD \) doğru parçasının yükseklik olmadığını varsayalım.
- ➡️ Varsayım: \( AD \), \( BC \) kenarına dik değildir.
- ➡️ \( AB = AC \) (ikizkenar üçgen), \( BD = DC \) (\( D \) orta nokta) ve \( AD \) kenarı ortak olduğu için \( ABD \) ve \( ACD \) üçgenlerinin kenarları (KKK) eşittir. (\( AB=AC, BD=DC, AD=AD \)).
- ➡️ Bu durumda, \( \angle ADB = \angle ADC \) olmalıdır.
- ➡️ Ancak \( D \) noktası \( BC \) doğrusu üzerinde olduğu için \( \angle ADB \) ve \( \angle ADC \) birbirini 180°'ye tamamlayan komşu açılardır. Yani \( \angle ADB + \angle ADC = 180° \).
- ➡️ Bu iki açı hem eşit hem de toplamları 180° ise, her biri 90° olmak zorundadır. Yani \( AD \perp BC \).
- ➡️ Bu sonuç, "\( AD \) dik değildir" şeklindeki varsayımımızla çelişir.
✅ Varsayım yanlıştır. O halde \( AD \) kenarortayı aynı zamanda bir yüksekliktir. (Benzer mantıkla açıortay olduğu da gösterilebilir.)
