Soru:
"Sonsuz tane asal sayı vardır." önermesini olmayana ergi yöntemi ile ispatlayınız.
Çözüm:
💡 Önermenin tersini, yani "sadece sonlu sayıda asal sayı vardır" diye varsayalım.
- ➡️ Varsayım: Tüm asal sayılar \( p_1, p_2, p_3, ..., p_n \) olsun. Yani sadece \( n \) tane asal sayı vardır.
- ➡️ Şimdi bu asal sayıların hepsini çarpıp 1 ekleyerek yeni bir sayı oluşturalım: \( N = (p_1 \times p_2 \times p_3 \times ... \times p_n) + 1 \).
- ➡️ Bu \( N \) sayısı, listedeki hiçbir \( p_k \) asal sayısına bölünemez. Çünkü her \( p_k \) ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
- ➡️ Bu durumda iki ihtimal vardır:
- a) \( N \) asal bir sayıdır. Ama \( N \), listemizdeki hiçbir asal sayıya eşit değildir. Bu, listemizin tüm asalları içerdiği varsayımıyla çelişir.
- b) \( N \) asal değildir (bileşiktir). O halde \( N \)'yi bölen bir asal sayı olmalıdır. Ancak bu asal çarpan, listemizdeki hiçbir asal sayı olamaz (çünkü 1 kalanını veriyordu). Bu da yine listemizin eksik olduğu anlamına gelir ve varsayımla çelişir.
✅ Her iki durumda da bir çelişkiye ulaştık. O halde varsayımımız yanlıştır ve sonsuz tane asal sayı vardır.
